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ここには、高校に入学してすぐに学習する整式の計算・因数分解の話しから、教科書の例・例題・章末レベルの問題、さらに大学入試問題の標準レベルに到るまで掲載してあります。その基本は計算力を付けることにおいてあります。残念ながら、順列・組合わせ・確率、図形などは入ってなく、数学のすべての分野を網羅しているわけではありません。教科書のような章立てではありません。

学習指導要領は十年ごとに改訂せられます。その度に組み換えをしなくてもよいように、大学受験数学入門、方程式・不等式、グラフ、トッピックスと大きく分けてあります。それらの中にさらに章がありますが、「整数解」「解の分離」「不等式のすべて」のような教科書では見かけないような章があります。受験数学を意識しての章立てになっています。

それらの章の1つひとつは、大きい流れになるように組み建ててあります。[カゲノコエ]としてヒントを挿入してありますので、先生が話してくれているものとして参考にしてください。しかも各章については断片的な知識でなく、まどろっこしいほどにスモールステップで連続的に配列してあります。文章も「である」でなくて、「です」「ます」調にして、きつくならないように配慮しました。また、問題の数が沢山あるところもありますが、それらのすべてを解きなさいというのではありません。問題を読んで解法の道筋の見えるものは解く必要はありません。いくつかを解いて自信をつけ、納得できればそれでよしとしましょう。

ここにありますのは難関大学に向けて記載したものではありません。それらの大学を志望する諸君には、別の立派なソフトがあると思いますので求めてください。大学受験数学の入門として、あくまでも数学に悩む諸君に役立てていただきたいために記したものです。

大学入試問題は、設問の仕方に工夫があり、年々変化をしています。それらのすべて対応することは私一人の仕事としては対応しきれません。しかし、諸君が問題を眺めるとき、その本質に変化のないことを気づいてくれると思います。より詳細なメッセージを、最後に掲載してありますので、参考にしていただければ嬉しく思います。

>>筆者プロフィール
 ここにあるものは教科書において取り上げられているものばかりです。
しかし、これらの内容の中には、授業時間を十分に取ることができないために消化不良のものが多くあります。あるいは、取り上げられても時間に制限があるため部分的にしか取り上げられていません。そのために、それがその分野の中でどういう位置を占めているかを把握できずにいるものが多くあります。この材料の多くは、それらの解かり難い部分の補充教材として作成したものをまとめたものです。

 ここでは、式の値を求めることから始まり、あまり深入りしないで、しかし、体系的に整うことを目標に記述してあります。そして、計算力・腕力をつけてくれることを願っています。これらをしっかりと学習することにより、ステップが一段とあがり、次の学習が容易になるはずです。
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Lesson 1


Lesson 2


ここには、高等学校で学ぶすべての方程式・不等式・恒等式があります。

 恒等式はいろんなところに現れ大変重要です。この征服なくして受験数学はありません。「受験数学入門」にも扱っています。若干重なる部分もありますが、その続きです。

 数学では文字式では、簡単に割ることはできません。その訓練として「文字方程式・不等式」を入れてあります。
 計算力をつける最良の方法は連立方程式を解くことです。ここには2元2次方程式を中心にし、3元2次まで掲載してあります。最近の教科書にはこの部分の記述がありませんので、自分で切り抜けねばなりません。是非、挑戦してみてください。

「不定方程式」という見かけないタイトルがあります。これは方程式を解いて整数解を求める問題です。ここがメインですが、ここから出発して不等式の整数解を求める最近の問題まで掲載してあります。

 方程式・不等式・漸化式では、基本から掘り起こし、易しいものから難度の高いものまで様々の問題を用意しました。教育課程の改定により扱う順番に変化がありますが、理系に進み数学Ⅲの微分積分まで学習する諸君には必要なものばかりです。これらの方程式・不等式を解くことにより、その材料を扱う訓練をしてください。この訓練の習熟なしには、スッテップアップすることは不可能です。
また、問題の数は沢山ありますが、それらのすべてを解きなさいというのではありません。問題を読んで解法の道筋の見えるものは解く必要はありません。いくつかを解いて自信をつけ、納得できればそれでよしとしましょう。
 ベクトル方程式は交点を求めることを中心とし、領域まで扱う予定です。
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連立方程式


不定方程式(整数解)


文字方程式・文字不等式


高次方程式・不等式


指数方程式・不等式


対数方程式・不等式


三角方程式・不等式


分数方程式・不等式


無理方程式・不等式


恒等式


漸化式


ベクトル方程式・領域


「媒介変数表示の軌跡」は、数学の同値変形を考える上で最適の材料です。ここには、式変形の上で見逃すことのできない条件、目のつけどころが満載しています。数学Ⅲ・数学Cで学習すような方程式が出てきますが、式変形だけにこだわって、導かれた方程式がどのようなグラフを表すのかは問わないでおきましょう。
 軌跡全般についてはさらに稿を進めたいと思います。

 「最大最小問題」は数学的知識の総合問題であるといわれています。グラフを抜きにして考えることはできません。ここには数学ⅠAⅡBの中で扱われるあらゆるタイプの問題を網羅してあります。各タイプは①、②の2部にしてあります。目安としては、①は基礎、②は発展です。

 「解の分離」「解の個数」「不等式のすべて」は一連のものです。教科書の中ではあまり触れられておらず、受験生には苦手の問題です。「解の分離」とは、方程式の解がどの範囲にあるかを求めるものです。逆に、方程式の解がある範囲にあるための条件を求める問題です。これを解くためには、解く場面を変えなければなりません。
方程式の問題をグラフの問題に変換して解かなければなりません。
私はこのことを《グラフにホンヤク》と称しています。数学では、一般に、問題を解く場面を変換して解かなければならないものが多くあります。これはそのいい材料です。2次方程式の問題を2次関数のグラフの問題に《ホンヤク》して解きます。ここには「解の分離」の問題の分類をしてありますが、2次方程式の「解の分離」の問題はここにあるタイプの問題だけです。

  取りつきにくい「解の分離」の問題ですが、受験生には不可避の問題です。三角関数、指数関数、対数関数の「解の存在」の問題は、このマスターなくして解決できません。また、出題の傾向を眺めると、関西の大学にはこの「解の分離」の問題が多く出題されています。また、センタ試験から関東にも徐々に広がりをもってきました。

 次は、「解の個数」です。受験生にとっては、三角方程式・指数方程式・対数方程式の中に出てくる「解の個数」の問題が厄介です。「解の分離」の理解がなくては解けません。

 「不等式のすべて」は、簡単にいえば「解の範囲の包含関係」の問題です。包含関係であるのですが、解が簡単に求まらないところがミソです。求まれば単純な大小関係になります。求まらないからこそ、そこにグラフを使う方法が考えられ、そこに「解の分離」の手法が役立つのです。このタイプの問題は平易なものから難度の高いものまで種々にあります。
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また、ファイルが2つある箇所では、①から閲覧してください。

最大最小問題


媒介変数表示の軌跡


解の分離(解の配置)


解の個数


不等式の「すべて」


 「因数分解」は、共通因数でくくり出すことから始まり、2次3項式、3次の因数分解とスモール・スッテプで習熟できるようにかなりの問題を入れてあります。最後に、因数分解の入試問題を入れてありますので頑張ってください。
さらに、数学Ⅱで学習する因数定理を用いる因数分解にまで進めてあります。
因数分解は式変形の基礎です。どのような問題でもできるんだという自信をつけてください。

「絶対値のグラフ」は絶対値の外し方を勉強する面白い材料です。そこに現れるグラフの形に興味をそそられるものがあります。このことを通して、分けて解くというココロを理解してくれればと考えます。
最近の入学試験の問題には、この絶対値の問題が多く出題されています。それは、分けて解く、分けて考える材料としてであろうと思います。

 「関数の極限」は数学Ⅲの内容です。グラフを書くためには、増減表を正確に作り上げなければなりません。そのためにはこの関数の極限の求め方が正確にできなければなりません。ここには、定数、+0、−0、+∞、−∞などの計算方法について記してあります。教科書ではほんの僅かしか扱っていないのですが、確実な計算が求められる重要なことです。長年にわたり少しずつ作り上げたものです。

 「群」の話を入れました。興味のある諸君はあたってください。群の性質が乗積表にどのように現われるかを読み取ってください。
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因数分解


絶対値のグラフ


対称式・交代式


数学語


証明法


関数の極限(数学Ⅲ)


郡の公理と乗積表


 最後に、読み物を入れました。

 聖文社は毎年『数学入試問題詳解』を出版している会社です。主に理系ですが、各大学の入試問題の解答を掲載している冊子です。その聖文社から、現在は出版されていませんが『受験数学』が毎月出版されていました。その中に、戸田清先生が「答案作成教室」を4年間にわたって連載されました。それを転載させていただきました。
 現在の大学入試試験は、センター試験に見られるように、時間との勝負になってしまいました。私立大学でも解答をマーク式で答えることが多くなり、解答の作り方、途中経過を問うことが少なくなりました。私立大学と国公立の2次試験において記述式の解答が残されていますが、このようなことから、答案の書き方について悩む諸君はほとんどなくなりました。志望大学の問題が記述式であれば、是非いちど目を通していただきたいと思います。

「数学が好きになる十カ条」は、休刊になりましたが、『高一時代』(旺文社)に私が執筆したものです。ここには、答案の書き方、ノートの取り方などを示してあります。
 公式が覚えられない、公式の使い方がわからない、などの言葉を生徒諸君から聞きます。私は“できるだけ少ない公式で数学をしよう”と心がけています。それらに応える読み物として、「鈍才の数学勉強法」「公式の意味と意義」を掲載してあります。参考にしていただければ嬉しく思います。
必要に応じて自由にダウンロードし使用して下さい。

答案作成教室(「受験数学」から抜粋 戸田 清著)




数学の教師になり間もなく40年になろうとしています。私にも、数学は難関でした。大学受験の年の元旦は、参考書『大学への数学』(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)の解法を憶えることから始まり、かろうじて現役で大学に受かりました。 数学の問題を解いている間は楽しく、美しさを感じつつも、その勉強には難しさを感じます。 いったい膨大な数の公式をどのようにして覚えるといいのだろうか。目の前に立ちはだかる公式の前に、身がすくんでしまい、なんともならなくなって金縛りにあった自分を思い出します。

記憶力のよい優秀な諸君には関係のない話であろうと思います。 しかし、運動神経の鈍かった私にはそう感じました。 ここから始まるのが、私の「鈍才の数学」です。

教科書は、公式を導き、その公式の使い方を示す例題をかかげ、次に練習問題があります。 公式はすべてが重要であるような感じを受けます。 公式はすべてを覚え、使い方をしらなければならないように思えます。しかし、限られた人間の頭にはそのようなことは不可能です。まして、受験生ともなれば、多くの教科を学習しなければなりません。とてもすべてを覚えるわけにはいきません。

    覚える数学は大変です。

  私は、できるだけ少ない公式で数学ができないかを考えました。

  公式には3種類あると考えています。それは、次の3種類です。

  1)公式を覚えて使うもの
  2)公式の精神を理解して使うもの
  3)公式の証明方法と、公式が大切なもの

教科書はそれらの公式が、上記のいずれに属すかを知るためのものです。初めて学ぶものにとってその区別を知ることは難しいものです。 しかし、それを授業を通して体得しなければなりません。ここに授業の価値があります。
 公式は、その精神を学べばいつまでも覚えておく必要はないのです。 忘れましょう。その精神の中から、いつでも公式は再現できるものとなり、いや、再現など必要ではありません。腕の中に腕力が形成され、強靭な計算力が養われているはずです。 数学は公式だけでするものではありません。 「公式のココロ」をつかみましょう。「公式の意味と意義について」に少しだけ詳しく記してあります。

数学の勉強法も人それぞれに違っていると考えます。私のような考え方はまどろっこく感じる諸君もいると思います。それはそれでよく、ご自分の学習法を貫徹させてください。私のものは「鈍才の数学勉強法」であると任じています。いわば、記憶力もあまりよくなく、公式もあまり覚えたくないという人向きのものです。そこにあるのは計算力と数学的精神(いろいろな意味がありますが、数学の活用法)です。


 さてそこで、ここにあるのは体系的な『大学受験数学』ではありません。高校二年生までの数学ⅠAⅡBまでの範囲の、あくまでも計算力を養うことをメインとしたものです。 しかし、これが十分に、滑らかに活用できるようになるときは、『大学受験数学』はもう手中にあります。これをベースにして、難関に挑んでいただきたいと思います。 また、ここを通らなければ難関に挑むには、力に欠けます。

優秀な諸君にはまわりくどく感じるところもあると思います。しかし、一度は必ず通らなければならない道です。 高く登ろうとすればするほど、必要になるものばかりです。現在の教科書には、触れていてもわずかであり、触れられていないものもあります。それぞれの意味につきましては別の項目で取り上げますので、そちらを参考にしてください。

若い頃、『高一時代』(旺文社)に掲載したもの二編を掲載しました。1つは『鈍才の数学勉強法』、『数学の勉強の仕方』です。 私の精神を理解していただけるものと思います。ご一読いただければ幸いです。

そういう意味で、ここにあるのは私が考え、指導してきた数学の勉強法です。 『大学受験数学入門講座』と題してHPを開きました。数学の教師生活四十年の間もなくの終了にあたって、これまでに作成したものを整理し開示するものです。

私は、数学の教師になりました時、受験生の時代とは異なり、多くの数学の受験参考書のお世話になりました。 教師としての目を啓かせていただきました。そのご恩返しのいったんとして、受験生ばかりでなく、先に立つ一教師として現役の数学教師にとっても参考になればと考えています。

受験生諸君にはできるだけ合理的に、そして、味のある数学を学習してください。 私は、大学受験に向かって努力をされる諸君に少しでもそのお役に立ちたいと願ってやみません。このプログラムにより、諸君が数学的に一層の飛躍をされんことを願っています。

同時に、大学受験ばかりでなく、理系に進学する人が少ないといわれている昨今、きっと授業のなかのどこかで迷っているいると思われます。その迷いを吹き消し・・・・それだけの力があるかどうかはわかりませんが・・・・・積極的な数学をするための一助となれば幸いに思います。

生徒の進学指導にあたって常に言って来たことがあります。先人の努力の上に、今日の文化文明を享受しています。今日があるのは先人の賜物です。諸君が、世の中に出た暁には、そのご恩返しをしなければいけません。
  まさに、高校の数学という狭い範囲の世界の中で今日まで生活をさせていただいたことに、満空の感謝を捧げ、後に続く方々のためになればと思うばかりです。

最後に、私の解釈の間違い、あるいは、私が一人ですべてワープロにしてきたものであり、打ち間違いなど多々あるのではないかと恐れています。愛読していただける諸君の協力を得て少しでもいいものにできればと考えています。ご意見などもお寄せいただけるとありがたく思います。

  また、いちいちお名前をあげることができないほどの多くの受験参考書、受験雑誌などから沢山の考え方、問題をいただいております。どうか受験生のためにお赦しくださいますよう伏してお願い申し上げます。

  さらには、ソフトは2ページでB41枚として作成したものです。右上に、生徒諸君の人生観をつくるうえで有益な言葉を掲載してあるものがあります。書籍から拝借したものもあり、また多くはHPの「世界傑作格言集」から転用したものです。

 末筆ながら、ここに謹んでここに御礼を申しあげます。
                                              合掌 
     平成18年6月18日父の日
                                                 石黒豊信(水覺)

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