クラスに同じ誕生日の人がいる確率

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40人のクラスに自分と同じ誕生日の人がいる確率は10%

40人のクラスに同じ誕生日の人がいる確率は 89%

・サッカーの試合で選手22人と審判1人の中に同じ誕生日の人がいる確率は50%

「同じ誕生日の人がいる確率が50%以上になるには何人集めればいいか?」という問題で、直観的には100人以上集めないとだめな気がするが、答えはなんと23人で十分である。これは誕生日のパラドックスという有名な問題らしく、「反直観の数学パズル」(ジュリアン・ハヴィル)で知った。この答えが意外と感じるのは「自分と同じ誕生日の人がいる確率」と勘違いしてしまうからであろう。

m人の中で自分と同じ誕生日がいる確率は、残りの(m-1)人全員が自分の誕生日と異なる確率(364/365)1から引けばいいから

例えば、40人のクラスで自分と同じ誕生日の人がいる確率は10%になる。私の記憶では小中高の8クラスのうち2クラスで同じ誕生日の人がいたので、そんなに外れていない。

一方、誰でもいいから同じ誕生日の人がいる確率は、m人全員が異なる誕生日である確率を1から引けばいいから

例えば、40人のクラスで同じ誕生日の人がいる確率は89%もある。自分と同じ誕生日の人は覚えていても他人と同じ誕生日の人は覚えていないので、体験としてこの確率を実感することがない。これが意外に感じられる理由ではないだろうか。

これら2つの確率の違いはグラフにして見るとよくわかる。

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さてここまで知ると、365人以上の人が集まると同じ誕生日の人達が必ずいるのは当たり前に感じられるが、初めて「学校の中に同じ誕生日の人が必ずいる」と聞いたときは意外に感じた。これは鳩の巣原理 n(n>m)の鳩をm個の巣箱に入れると2羽以上の鳩が入る巣箱が必ず存在する」というもので、学校の数学では習わないが有名らしい。一見、当たり前すぎてつまらない原理に見えるが、鳩の巣原理で証明できる当たり前でない命題もある。

・パーティの参加者の中には、その中にいる友人の数が同じ人が少なくとも2人いる

1から100までの自然数から51個を選ぶと、必ず約数・倍数の関係にある2つの数がある

・平面上に2n個の点がある。このときどの点にも触れずにn個とn個に分ける直線が引ける

これらはたしか「数学迷宮」(小島寛之)に載っていたもので、どれも意外でおもしろい。


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